Center: mean, median, mode
Bir veri setini tek sayıyla özetlemek istiyorsun: "tipik değer ne?" Buna measure of central tendency (center) denir. Üç aday var ve her biri farklı bir soruya cevap verir. Mean "hepsini eşit paylaştırsam kişi başı ne düşer?", median "tam ortadaki değer ne?", mode "en sık hangi değer görülüyor?" sorusunu cevaplar.
- Sample mean: $\bar x = \dfrac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$. Population mean'in sembolü $\mu$'dür. Örnek: 5, 3, 8, 5, 6 için $\bar x = 27/5 = 5.4$.
- Median ($M$): önce sırala. $n$ tek ise ortadaki değer (sıra $\tfrac{n+1}{2}$), $n$ çift ise ortadaki iki değerin ortalaması. Örnek: 5, 7, 4, 5, 20, 6, 2 → sıralı 2, 4, 5, 5, 6, 7, 20 → $M = 5$. Sondaki 2'yi silersen kalan altı değerin median'ı $(5+6)/2 = 5.5$.
- Mode: en sık görülen değer. Hiç olmayabilir ya da birden fazla olabilir. Nominal data için kullanılabilen tek center ölçüsü mode'dur (modal category); ordinal data'da median category de kullanılabilir. Histogram'da en yüksek class'a modal class denir.
- Grouped data: sadece class interval'lar ve frequency'ler verilmişse her class'ı midpoint'i $m_i$ ile temsil et: $\bar x \approx \dfrac{\sum f_i m_i}{\sum f_i}$.
Median, birkaç uç değerden çok az etkilenir; mean ise uç değere doğru çekilir. Birkaç çok yüksek gelirli ev bir mahallenin mean gelirini şişirir ama median'ı neredeyse oynatmaz. Bu yüzden çarpık (skewed) veride "tipik değer" olarak median'ı raporla.
- Median'ı sıralamadan okumak. Ham listede ortada duran sayı median değildir.
- "Median 425" demek: gözlemlerin en az yarısı 425'e eşit ya da küçüktür; en az yarısı eşit ya da büyüktür. 425'te tekrar eden değer yoksa bu "yarısı 425'in altında" demektir. "Yarısı tam 425" ya da "en sık 425" demek değildir.
- Category kodlarının (HTTP status code, bölge numarası) mean'i anlamsızdır. Nominal data'da mean ve median yoktur, mode vardır.
- $\sum x$ ile $\sum x^2$'yi ve $(\sum x)^2$'yi karıştırmak: 1, 2, 3 için $\sum x = 6$, $(\sum x)^2 = 36$, $\sum x^2 = 14$.
Beş isteğin response time'ı (ms): 20, 22, 25, 23, 300. Tipik bir isteği en iyi hangisi anlatır?
Q1. "In a computer science experiment, the execution times (in milliseconds) of an algorithm are recorded as follows: 10, 12, 15, 20, 100. Which measure would be most appropriate to represent the central tendency of this data set? A) Median B) Geometric Mean C) Mean D) Harmonic Mean E) Mode"
Q10. "Which measure of central tendency can be used for nominal (categorical) data? A) Range B) Mean C) Median D) Standard Deviation E) Mode"
İpucu 1
Q1: Mean'i ve median'ı hesapla. Hangisi dört değerin yanında duruyor?
İpucu 2
Q10: Seçeneklerden hangileri center ölçüsü bile değil? Kalanlardan hangisi sayı ya da sıra gerektirmez?
Çözümü göster
Q1: $\bar x = 157/5 = 31.4$; beş değerin dördü 20 ve altında. Median = 15. Hiçbir değer tekrar etmediği için mode yok. 100 ms'lik uç değer mean'i çekiyor, median'ı çekmiyor. Cevap A) Median.
Q10: Range ve standard deviation spread ölçüsü. Mean sayı, median sıralama ister; nominal data'da ikisi de yok. Cevap E) Mode.
Q4. "Listed below are the shoe sizes of 12 randomly selected customers who purchased the new style. Find the mode of the shoe sizes." 9½, 11, 12, 11½, 8½, 10½, 8, 11, 10, 11, 9½, 10. "A) 10¼ B) 9½ C) 11 D) 10½"
Q8. "The amount spent on textbooks for the fall term was recorded for a sample of five hundred university students. The mean expenditure was calculated to be USD 500 and the median expenditure was calculated to be USD 425. Which of the following interpretations of the median is correct? A) The average of the textbook costs sampled was USD 425 B) 50% of the students sampled had textbook costs equal to USD 425 C) 50% of the students sampled had textbook costs that were less than USD 425 D) The most frequently occurring textbook cost in the sample was USD 425" (orijinalde tutarlar dolar işaretiyle yazılı)
İpucu 1
Q4: Her değerin kaç kez geçtiğini say. 9½ ile 11½'i karıştırma.
İpucu 2
Q8: Seçeneklerin üçü başka bir ölçünün tanımı. Hangileri mean'in, hangisi mode'un tanımı?
Çözümü göster
Q4: 11 üç kez, 10 ve 9½ ikişer kez, diğerleri birer kez geçiyor. Mode = 11, cevap C.
Q8: Gözlemlerin en az yarısı median'a eşit ya da küçüktür; en az yarısı eşit ya da büyüktür. A mean'in, D mode'un tanımı; B "eşit" dediği için yanlış. Cevap C; bu cevap 425'te tekrar eden değer olmadığını varsayar. Çok sayıda öğrenci tam 425 harcadıysa 425'in altında kalanlar %50'den az olabilir. Ek bilgi: mean (500) > median (425), yani harcamalar sağa çarpık.
"Given a grouped frequency distribution with class intervals and frequencies as below, estimate the mean:" 0–10: 2, 10–20: 5, 20–30: 9, 30–40: 4. "A) 24 B) 22.5 C) 20 D) 18.5 E) Cannot be calculated without raw data"
İpucu 1
Ham veri yok ama "estimate" deniyor. Her class'ı tek bir sayıyla temsil et: hangisiyle?
İpucu 2
Midpoint'ler 5, 15, 25, 35. Her birini frequency'siyle çarp, topla, toplam frequency'ye böl.
Çözümü göster
$\bar x \approx \dfrac{2\cdot 5 + 5\cdot 15 + 9\cdot 25 + 4\cdot 35}{2+5+9+4} = \dfrac{10 + 75 + 225 + 140}{20} = \dfrac{450}{20} = 22.5$. Cevap B. E tuzak: ham veri olmadan tam mean bulunamaz ama soru tahmin istiyor.
Q19. "A data set contains the observations 7, 4, 2, 3, 1. Find $\left(\sum x\right)^2$. A) 289 B) 17 C) 34 D) 79"
Q21. "Which of the following is not a measure of central tendency? A) median B) mode C) range D) mean"
Q25. (True/False) "The mean and the median are useful measures of central tendency for both qualitative and quantitative data."
İpucu 1
Q19: Parantezin yerine dikkat: önce topla, sonra kare al.
İpucu 2
Q25: Qualitative data'nın mean'ini alabilir misin?
Çözümü göster
Q19: $\sum x = 17$, $(\sum x)^2 = 289$, cevap A. D (79) tuzak: o $\sum x^2 = 49 + 16 + 4 + 9 + 1$. Q21: Range bir spread ölçüsü, cevap C. Q25: False: qualitative data'da mean yoktur. Median sadece ordinal (sıralanabilir) category'lerde anlamlıdır; nominal data'da median da yoktur, sadece mode vardır.
On iki puan: 8, 7, 9, 6, 8, 10, 9, 9, 5, 7 ve iki tane daha 8. Mode hangisi?
"The amount spent on textbooks for the fall term was recorded for a sample of five university students: 400, 350, 600, 525 and 450 (dollars). Calculate the value of the sample mean for the data." Seçenekler: 600 · 400 · 450 · 465
İpucu 1
Önce beş değeri topla, sonra $n = 5$'e böl.
İpucu 2
Toplam 2325.
Çözümü göster
$\bar x = (400 + 350 + 600 + 525 + 450)/5 = 2325/5 = 465$. Cevap 465.
450 tuzak: sıralı veride (350, 400, 450, 525, 600) ortadaki değer, yani median. Soru sample mean istiyor.
"The scores for a statistics test are as follows: 73 76 88 77 90 92 98 85 89 89 79 79 50 70 85 61 85 74 18 80. Compute the mean score." Seçenekler: 80.10 · 67.85 · 75 · 76.9
İpucu 1
Kaç değer var? Say: iki satır, her satırda 10.
İpucu 2
Toplam 1538.
Çözümü göster
$n = 20$, $\sum x = 1538$, $\bar x = 1538/20 = 76.9$. Cevap 76.9.
18 puanı mean'i aşağı çekiyor. Median ise 79.5 ve bu uç değerden etkilenmiyor. Bölüm 3'teki skewness kuralına uyuyor: sola uzanan kuyruk mean'i median'ın soluna iter.
"Is honey a cough remedy? … the 105 ill children in the sample were randomly divided into three groups: those who received a dosage of an over-the-counter cough medicine (DM), those who received a dosage of honey (H), and those who received no dosage (control group). The coughing improvement scores … are reproduced in the accompanying table. a. Find the median improvement score for the honey dosage group. b. Find the median improvement score for the DM dosage group. c. Find the median improvement score for the control group. d. Based on the results, parts a–c, what conclusions can pediatric researchers draw?"
| Grup | Improvement score |
|---|---|
| Honey ($n = 35$) | 12 11 15 11 10 13 10 4 15 16 9 14 · 10 6 10 8 11 12 12 8 12 9 11 15 · 10 15 9 13 8 12 10 8 9 5 12 |
| DM ($n = 33$) | 4 6 9 4 7 7 7 9 12 10 11 6 3 4 · 9 12 7 6 8 12 12 4 12 13 7 10 · 13 9 4 4 10 15 9 |
| Control ($n = 37$) | 5 8 6 1 0 8 12 8 7 7 1 6 7 7 12 · 7 9 7 9 5 11 9 5 6 8 · 8 6 7 10 9 4 8 7 3 1 4 3 |
İpucu 1
Her grubu küçükten büyüğe sırala. $n$ tek ise median $(n+1)/2$'inci değerdir.
İpucu 2
Üç $n$ de tek: 35, 33, 37. Sırasıyla 18'inci, 17'nci ve 19'uncu değeri bul.
Çözümü göster
a. Honey: 18'inci değer 11. b. DM: 17'nci değer 9. c. Control: 19'uncu değer 7.
d. Tipik improvement honey grubunda en yüksek, DM ortada, ilaçsız grupta en düşük. Bu, honey'nin öksürüğü en çok rahatlattığını düşündürüyor. Ama bu sadece bir description: üç grubun farkının şansla açıklanıp açıklanamayacağını söylemek için bir measure of reliability lazım. Bu karşılaştırmanın testi ANOVA dersinde (üç grup) geliyor.
"Active nuclear power plants. The U.S. Energy Information Administration monitors all nuclear power plants operating in the United States. The next table lists the number of active nuclear power plants operating in each of a sample of 20 states. a. Find the mean, median, and mode of this data set. b. Eliminate the largest value from the data set and repeat part a. What effect does dropping this measurement have on the measures of central tendency found in part a?"
Alabama 5, Arizona 2, California 4, Florida 5, Georgia 4, Illinois 11, Kansas 1, Louisiana 2, Massachusetts 1, Mississippi 1, New Hampshire 1, New York 6, North Carolina 5, Ohio 3, Pennsylvania 9, South Carolina 7, Tennessee 3, Texas 4, Vermont 1, Wisconsin 3.
İpucu 1
Sırala: 1 1 1 1 1 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 7 9 11. Toplam 78.
İpucu 2
$n = 20$ çift: median 10'uncu ve 11'inci değerin ortalaması. Mode en sık görülen değer.
Çözümü göster
a. $\bar x = 78/20 = 3.9$. Median $= (3 + 4)/2 = 3.5$. Mode $= 1$ (beş eyalet).
b. 11 çıkınca $n = 19$, toplam 67: $\bar x = 67/19 = 3.53$. Median artık 10'uncu değer: 3. Mode yine 1.
Etki: mean 3.9'dan 3.53'e indi. Median 3.5'ten 3'e indi, çünkü bir değer çıkınca orta sıra yarım adım kayıyor; çıkan değerin büyüklüğü önemli değil. 11 yerine 100 çıkarılsaydı median yine 3 olurdu, mean ise çok daha fazla düşerdi. Mode hiç değişmedi. Uç değere en duyarlı ölçü mean'dir.
Veriyi çizmek: bar graph'tan histogram'a
Sayıları hesaplamadan önce şekle bak. Hangi grafiği seçeceğini verinin tipi belirler: kategoriler için bir şey, ölçümler için başka bir şey.
| Veri | Grafik | Neyi gösterir |
|---|---|---|
| Qualitative | Bar graph | Her class'ın class frequency'si (sayısı) ya da class relative frequency'si (frequency / $n$). Bar genişlikleri eşit. |
| Pie chart | Dilim açısı = relative frequency × 360°. %25 ise 90°. | |
| Pareto diagram | Bar'lar yüksekten alçağa sıralı bar graph; en önemli category'ler solda. | |
| Quantitative | Dot plot | Her ölçüm sayı doğrusunun üstünde bir nokta; tekrar eden değerler üst üste. |
| Stem-and-leaf display | Stem = baştaki rakam(lar), leaf = son rakam. Gerçek değerler kaybolmaz. | |
| Histogram | Eşit genişlikte class interval'lar, bar'lar arasında boşluk yok. Bir interval'ın üstündeki alanın toplam alana oranı = o interval'ın relative frequency'si. | |
| Box plot | Five-number summary ve outlier'lar (9. bölüm). | |
| İki quantitative variable | Scatterplot | Her birim bir nokta $(x, y)$; ilişkiyi gösterir. |
Veri çoğaldıkça histogram'ın class'larını daraltabilirsin; çok büyük bir population'da relative frequency histogram'ı düzgün bir eğriye (curve) dönüşür. Normal distribution bu eğrilerden biri (10. bölüm).
- Histogram'ın bar'ları yüksekliğe göre sıralanmaz; x ekseni sayı doğrusudur. Yüksekliğe göre sıralanan grafik Pareto diagram'ıdır.
- Park etme süresi gibi sürekli bir ölçüm için pie chart kullanılmaz; pie chart category'ler içindir.
- Stem-and-leaf'te stem'leri değil leaf'leri say: her leaf bir gözlemdir. Leaf'i olmayan stem'de gözlem yoktur.
- "55'in üstü" sorusunda 55'in kendisi sayılmaz.
100 araçlık bir mileage histogram'ında 37–38 mpg interval'ının üstündeki dikdörtgen, histogram'ın toplam alanının 0.21'i. Bu ne demek?
Q14. "A dot plot of the speeds of a sample of 50 cars passing a policeman with a radar gun is shown below. What proportion of the motorists were driving above the posted speed limit of 55 miles per hour? A) 0.50 B) 0.14 C) 7 D) 0.64"
Şekil kâğıttaki dot plot'tan nokta nokta sayılarak yeniden çizildi.
Q21. "Respondents were asked to rate the overall quality from 0 (no quality at all) to 100 (extremely good quality). The stem-and-leaf display of the data is shown below. What percentage of the respondents rated overall television quality as very good (regarded as ratings of 80 and above)? A) 9% B) 4% C) 1% D) 36%"
Stem | Leaf
3 | 2 3
4 | 0 3 4 7 8 9 9 9
5 | 0 1 1 2 3 4 5
6 | 1 2 5 6 6
7 | 4 9
8 |
9 | 9İpucu 1
Q14: 55'in sağındaki sütunlardaki noktaları say. 55'in kendisi "above" değil.
İpucu 2
Q21: Önce toplam leaf sayısını bul ($n$). Sonra 8 ve 9 stem'lerinde kaç leaf var?
Çözümü göster
Q14: 55'in üstünde: 56'da 4, 57'de 3, 58'de 4, 59'da 3, 60'ta 2, 61'de 1, 63'te 2, 64'te 1, 65'te 1, 67'de 2, 69'da 1, 70'te 1 → 25 araç. $25/50 = 0.50$, cevap A. C (7) tuzak: 55'teki nokta sayısı, oran değil.
Q21: Leaf sayısı $2 + 8 + 7 + 5 + 2 + 0 + 1 = 25$. 80 ve üstü sadece 99 → $1/25 = 0.04$, cevap B) 4%. C (1%) tuzak: gözlem sayısını oran sanmak.
Q5. "Which of the following graphs is best suited to display the relationship between two quantitative variables? A) Histogram B) Scatterplot C) Pie Chart D) Boxplot E) Bar Chart"
Q16. "When constructing a histogram, which of the following statements is true? A) The width of each class should be equal B) The number of classes is arbitrary and does not affect the shape C) Classes should overlap to include all data points D) Histograms are used for qualitative data E) Frequency polygons cannot be derived from histograms"
İpucu 1
Q5: Seçeneklerden hangisi iki variable'ı aynı anda gösterir?
İpucu 2
Q16: Class'lar çakışırsa bir değer iki bar'a girer. Class sayısını değiştirince şekil değişir mi?
Çözümü göster
Q5: B) Scatterplot; diğerlerinin hepsi tek variable gösterir. Q16: Bu soruda eşit genişlikli, yüksekliği frequency olan histogram varsayılıyor; beklenen cevap A. Eşit olmayan class genişlikleri de kullanılabilir, ancak o zaman bar yüksekliği frequency/class width olmalıdır. B yanlış (class sayısı şekli değiştirir), C yanlış (class'lar çakışmaz), D yanlış (histogram quantitative data içindir), E yanlış (frequency polygon histogram'ın bar tepelerinin birleştirilmesiyle çizilir).
Q10. Relative frequency table: Freshman 600 (.30), Sophomore 560 (.28), Junior ? (.22), Senior 400 (.20). "What number is missing from the table? A) 520 B) 440 C) 220 D) 480"
Q11. Bar graph of 1,000 voters (gözle okunan değerler: Democrat %40, Republican %35, Independent %15, Other %10). "What percentage of the voters belonged to one of the traditional two parties? A) 75% B) 40% C) 25% D) 35%"
Q12–Q15 (True/False): "If 25% of your statistics class is sophomores, then in a pie chart … the slice assigned to sophomores is 90°." · "The slices of a pie chart must be arranged from largest to smallest in a clockwise direction." · "The bars in a histogram should be arranged by height in descending order from left to right." · "A histogram can be constructed using either class frequencies or class relative frequencies as the heights of the bars."
Q16. Stem-and-leaf (3 | 2 9, 4 | 0 3 4 7 8 9 9 9, 5 | 0 1 1 2 3 4 5, 6 | 1 2 5 6 6, 7 | 1 9, 8 |, 9 | 6): "What percentage … rated … 80 and above? A) 4% B) 6% C) 1% D) 24%"
Q17. Parking times of 170 students: "Which of the following types of graphs should not be used? A) pie chart B) box plot C) stem-and-leaf display D) histogram"
Q18. "One advantage of the ___ is that the actual data values are retained in the graphical summarization of the data. A) histogram B) pie chart C) stem-and-leaf plot" (sorular kısaltıldı)
İpucu 1
Q10: Freshman satırından toplam $n$'yi bul: $600 / 0.30$.
İpucu 2
Q12–Q15: Pie chart'ta dilim açısı = oran × 360°. Sıralama kuralı sadece Pareto diagram'da var.
Çözümü göster
Q10: $n = 600/0.30 = 2000$, Junior $= 0.22 \times 2000 = 440$ → B. Q11: $40 + 35 = 75\%$ → A. Q12: True ($0.25 \times 360° = 90°$). Q13: False. Q14: False (o Pareto diagram). Q15: True. Q16: 25 leaf, 80 ve üstü sadece 96 → $1/25 = 4\%$ → A. Q17: A) pie chart (süre bir ölçüm, category değil). Q18: C) stem-and-leaf plot.
"In an eye color study, 25 out of 50 people in the sample had brown eyes. In this situation, what does the number .50 represent?" Seçenekler: a class frequency · a class · a class percentage · a class relative frequency
İpucu 1
Class (sınıf) burada "brown". 25 neyin sayısı?
İpucu 2
Frequency bir sayım, relative frequency ise sayımın $n$'e oranı. Percentage ise oranın 100 katı.
Çözümü göster
Class: brown eyes. Class frequency: 25. Class relative frequency: $25/50 = .50$. Class percentage: %50. Cevap a class relative frequency.
"260 randomly sampled college students were asked, among other things, to state their year in school (freshman, sophomore, junior, or senior). The responses are shown in the bar graph below. How many of the students who responded would be classified as upperclassmen (e.g., juniors or seniors)?" Seçenekler: approximately 25 · approximately 10 · approximately 100 · approximately 125
Grafikten okunan yükseklikler (yaklaşık): freshman 10, sophomore 125, junior 100, senior 25.
İpucu 1
Upperclassmen iki sınıf: junior ve senior. İkisinin bar'ını topla.
İpucu 2
Kontrol: dört bar'ın toplamı 260'a yakın çıkmalı.
Çözümü göster
Junior ≈ 100, senior ≈ 25 ⇒ yaklaşık 125. Kontrol: $10 + 125 + 100 + 25 = 260$.
Tuzak: "approximately 100" sadece junior'ları, "approximately 25" sadece senior'ları sayar.
"Class relative frequencies must be used, rather than class frequencies or class percentages, when constructing a Pareto diagram." True / False
İpucu 1
Pareto diagram'ı bar graph'tan ayıran tek şey ne?
İpucu 2
Frequency, relative frequency ve percentage aynı sırayı verir mi?
Çözümü göster
False. Pareto diagram, bar'ları en uzundan en kısaya sıralanmış bir bar graph'tır. Bar yüksekliği frequency, relative frequency ya da percentage olabilir; üçü de aynı sıralamayı verir, sadece eksenin ölçeği değişir.
"The payroll amounts for all teams in an international hockey league are shown below using a graphical technique from chapter 2 of the text. How many of the hockey team payrolls exceeded 20 million dollars? (Note: Assume that no payroll was exactly 20 million dollars.)" Seçenekler: 8 teams · 23 teams · 10 teams · 18 teams
Grafik bir frequency histogram (milyon dolar): 0–10: 1, 10–20: 2, 20–30: 10, 30–40: 8, 40–50: 5.
İpucu 1
20'nin üstündeki class'lar hangileri?
İpucu 2
Bir histogram'da bar yüksekliği o class'taki takım sayısı.
Çözümü göster
20–30, 30–40 ve 40–50 class'ları: $10 + 8 + 5 = 23$. Cevap 23 teams.
10 sadece 20–30 bar'ı. 18 ise $10 + 8$, son bar unutulmuş. Toplam lig $1 + 2 + 10 + 8 + 5 = 26$ takım.
"…plots are useful for both qualitative and quantitative data." A) True B) False
Not: Fotoğrafta sorunun ilk kelimesi kâğıdın kenarında kesik. Hangi plot olduğu okunamıyor; çözüm bütün adaylar için aynı.
İpucu 1
McClave'de adında "plot" geçen grafikleri say: dot plot, stem-and-leaf plot, box plot, scatterplot. Hangi veri tipi için?
İpucu 2
Qualitative veri için McClave hangi grafikleri verir?
Çözümü göster
B) False. Dot plot, stem-and-leaf plot ve box plot sayısal bir eksen ister, yani quantitative veri içindir. Scatterplot iki quantitative değişken içindir. Qualitative veri bar graph, pie chart ve Pareto diagram ile gösterilir.
"Who is to blame for rising health care costs? … A nationwide survey of 2,119 U.S. adults was conducted to elicit opinions on who is to blame for the rising costs … a. Compute the relative frequencies in each response category. b. Construct a relative frequency bar graph for the data. c. Convert the relative frequency bar graph into a Pareto diagram. Interpret the graph."
Insurance companies 869, Pharmaceutical companies 339, Government 338, Hospitals 127, Physicians 85, Other 128, Not at all sure 233. Total 2,119.
İpucu 1
Relative frequency = class frequency / 2119.
İpucu 2
Pareto diagram için bar'ları büyükten küçüğe diz.
Çözümü göster
| Category (Pareto sırası) | Frequency | Relative frequency |
|---|---|---|
| Insurance companies | 869 | .410 |
| Pharmaceutical companies | 339 | .160 |
| Government | 338 | .160 |
| Not at all sure | 233 | .110 |
| Other | 128 | .060 |
| Hospitals | 127 | .060 |
| Physicians | 85 | .040 |
b. Her category için bir bar, yüksekliği relative frequency. c. Aynı bar'ları tablodaki sırayla dizince Pareto diagram olur. Yorum: yetişkinlerin %41'i en çok sigorta şirketlerini sorumlu tutuyor, bu ikinci category'nin iki buçuk katı. Physicians en az suçlanan grup (%4).
"Motivation and right-oriented bias. … researchers tested this theory using data on all penalty shots attempted in World Cup soccer matches (a total of 204 penalty shots). The researchers believed that goalkeepers, motivated to make a penalty-shot save but with little time to make a decision, would tend to dive to the right. The results of the study (percentages of dives to the left, middle, or right) are provided in the table. … Construct side-by-side bar graphs showing the distribution of dives for the three match situations. What inferences can you draw from the graphs?"
| Match situation | Dive left | Stay middle | Dive right |
|---|---|---|---|
| Team behind | 29% | 0% | 71% |
| Tied | 48% | 3% | 49% |
| Team ahead | 51% | 1% | 48% |
İpucu 1
Veri qualitative (dive yönü). Her match situation için ayrı bir bar graph çiz, üçünü yan yana koy.
İpucu 2
Üç grafikte "dive right" bar'ını karşılaştır. Hangi durumda kaleci en motive?
Çözümü göster
Her satır bir relative frequency dağılımı (toplamı %100). Yan yana bar graph'larda team behind grafiğinde "dive right" bar'ı %71 ile öne çıkıyor; tied ve team ahead grafiklerinde sol ve sağ neredeyse eşit (%48–51).
Çıkarım: kaleci en çok motive olduğunda (takımı gerideyken) sağa atlama eğilimi belirginleşiyor. Bu, right-oriented bias teorisiyle uyumlu. Yine de bu bir observational veri ve grafik sadece bir desen gösteriyor; farkın şans olup olmadığını χ² test'i söyler (categorical data dersi).
Shape: skewness, mean ve median'ın yeri
Hocanın slaytındaki response time histogram'ında mode 68 ms, median 83 ms, mean 97 ms. Birkaç çok yavaş istek sağda uzun bir kuyruk (tail) oluşturuyor. Slayttaki cümle: "A long right tail pulls the mean towards it. The median stays with the bulk of the data."
Aşağıdaki histogram aynı tipte bir veri: seeded RNG ile üretilmiş 2000 response time (gamma şekli, population mean'i 60 ms). Çizgiler bu 2000 değerden hesaplanıyor.
- Bir tarafta daha uzun kuyruk varsa veri o tarafa skewed'dır. Kuyruk sağdaysa skewed to the right (rightward), soldaysa skewed to the left.
- Mean'i median ile karşılaştır: mean > median → sağa çarpık, mean < median → sola çarpık, yaklaşık eşitse simetriye yakın.
- Tek tepeli verilerde tipik sıralama: sağa çarpıkta mode < median < mean; sola çarpıkta mean < median < mode. Simetrikte üçü yaklaşık eşit.
- "Right-skewed" tepenin sağda olduğu anlamına gelmez. Tepe solda, kuyruk sağdadır. İsmi kuyruk verir.
- Mean ile median'ı kıyaslamak bir ipucudur, kesin kanıt değildir. Sınavlar "most likely" der.
- Response time, gelir, bekleme süresi gibi alttan sınırlı (0'ın altına inemeyen) ölçümler genelde sağa çarpıktır. Kolay bir sınavın notları ise sola çarpıktır (çoğu yüksek, birkaç düşük).
Kolay bir sınavda çoğu öğrenci 85–100 arası almış, birkaç öğrenci 20–40 almış. Hangisi beklenir?
Soru 24. "A distribution is called right-skewed if it has: a. A long tail extending to the left b. A long tail extending to the right c. Two distinct peaks d. A symmetrical shape e. No peak at all"
Soru 25. "If a dataset has a mean of 50 and a median of 45, which statement is most likely correct about the data's shape? a. The distribution is symmetric b. The distribution is right-skewed c. The distribution is left-skewed d. The distribution is bimodal e. The shape cannot be inferred from this information"
Not: PDF'in metninde "i" harfleri düşmüş; sorular eksik harfler tamamlanarak alıntılandı. Bu kâğıdın cevap anahtarı repoda yok.
İpucu 1
Skewness'a ismini tepe mi verir, kuyruk mu?
İpucu 2
Mean median'dan büyükse mean hangi tarafa çekilmiş?
Çözümü göster
Soru 24: b, kuyruk sağda. Soru 25: mean 50 > median 45, mean yukarı çekilmiş → b) right-skewed. "e" cazip ama soru "most likely" diyor; mean ile median'ın sırası şekil hakkında iyi bir ipucudur.
"In a left-skewed distribution, which of the following is true? A) Median > Mean > Mode B) Mode > Median > Mean C) Mean > Median > Mode D) Mean = Median = Mode E) Mean < Median < Mode"
İpucu 1
Sol kuyruk mean'i hangi yöne çeker?
İpucu 2
Mode tepenin olduğu yerde; sola çarpıkta tepe sağdadır. Sıralamayı soldan sağa yaz.
Çözümü göster
Soldan sağa: mean (kuyruğa en yakın), median, mode (tepe). Mean < Median < Mode, cevap E. B de aynı sıralamanın tersten yazılışıdır: Mode > Median > Mean. Kâğıtta iki seçenek de doğru okunuyor; resmi anahtar repoda yok. Sınavda böyle bir durumda iki seçeneği karşılaştır ve gözetmene sor.
"For the distribution drawn here, identify the mean, median, and mode. A) A = mode, B = median, C = mean B) A = mode, B = mean, C = median C) A = mean, B = mode, C = median D) A = median, B = mode, C = mean"
Şekil yeniden çizildi: kâğıttaki gibi sola uzun kuyruklu bir eğri, soldan sağa C, B, A çizgileri. STT315 Practice 1 Q20'de aynı şekil var (orada doğru şık C).
İpucu 1
A çizgisi eğrinin tepesinde. Tepedeki değer hangi ölçüdür?
İpucu 2
Kuyruk solda. Mean kuyruğa doğru en çok çekilen ölçüdür.
Çözümü göster
Tepe = mode → A. Sol kuyruk mean'i en sola çeker → C = mean. Median ikisinin arasında → B. Cevap A) A = mode, B = median, C = mean.
"The output below displays the mean and median for the state high school dropout rates in 1998 and 2002." Drop 1998: N 51, MEAN 28.15, MEDIAN 27.43. Drop 2002: N 51, MEAN 26.75, MEDIAN 25.65. "Use the information to determine the shape of the distributions." (A: both skewed to the right; B: 1998 left, 2002 right; C: 1998 right, 2002 left; D: both skewed to the right; E: neither)
İpucu 1
Her yıl için mean ile median'ı ayrı ayrı karşılaştır.
İpucu 2
İki yılda da mean median'dan büyük mü?
Çözümü göster
1998: $28.15 > 27.43$; 2002: $26.75 > 25.65$. İkisi de sağa çarpık. Setin anahtarı A diyor; D aynı cümle (setteki bir yazım hatası), yani ikisi de aynı anlamda.
Slayt 16: mode 68, median 83, mean 97 ms. Yöneticin "ortalama istek 97 ms sürüyor, tipik kullanıcı bunu yaşıyor" diyor. Ne cevap verirsin?
"Symmetric or skewed? Would you expect the data sets described below to possess relative frequency distributions that are symmetric, skewed to the right, or skewed to the left? Explain. a. The salaries of all persons employed by a large university b. The grades on an easy test c. The grades on a difficult test d. The amounts of time students in your class studied last week e. The ages of automobiles on a used-car lot f. The amounts of time spent by students on a difficult examination (maximum time is 50 minutes)"
İpucu 1
Her biri için sor: değerlerin çoğu nerede toplanır, uzun kuyruk hangi yöne uzanır?
İpucu 2
Bir alt sınır (0) ya da üst sınır (100 puan, 50 dakika) yığılmaya yol açar; kuyruk sınırın ters yönüne uzar.
Çözümü göster
a. Right: çoğu maaş orta düzeyde, birkaç yönetici maaşı sağa uzun kuyruk yapar. b. Left: kolay sınavda çoğu puan yüksek, birkaç düşük puan sola kuyruk. c. Right: zor sınavda çoğu puan düşük, birkaç yüksek puan sağa kuyruk. d. Right: çalışma süresi 0'ın altına inemez, birkaç kişi çok uzun çalışır. e. Right: çoğu araba birkaç yaşında, az sayıda çok eski araba. f. Left: zor sınavda çoğu öğrenci 50 dakikanın sonuna kadar kalır, birkaçı erken çıkar.
Spread: range, variance, standard deviation
İki server'ın response time'ları: A = 50, 60, 70 ve B = 59, 60, 61 ms. İkisinin de mean'i 60. Ama A'da istekler mean'den 10 ms sapıyor, B'de 1 ms. Center aynı, spread farklı.
Sapmaları (deviation, $x - \bar x$) toplayıp ortalasak olmaz: toplamları her zaman sıfırdır ($-10 + 0 + 10 = 0$). Bu yüzden önce karelerini alırız.
| Squared deviations | Variance | Std. deviation | |
|---|---|---|---|
| Server A | $(-10)^2 + 0^2 + 10^2 = 200$ | $200/2 = 100$ | 10 ms |
| Server B | $(-1)^2 + 0^2 + 1^2 = 2$ | $2/2 = 1$ | 1 ms |
- Range = en büyük − en küçük. Sadece iki uç değeri kullanır; aynı range'e sahip iki veri çok farklı yayılmış olabilir.
- Sample variance ve sample standard deviation: $$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar x)^2}{n-1}, \qquad s = \sqrt{s^2}$$
- Hesap makinesi için kısa yol: $s^2 = \dfrac{\sum x^2 - \frac{(\sum x)^2}{n}}{n-1}$.
- Population için: $\sigma^2 = \dfrac{\sum (x_i - \mu)^2}{N}$, $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$. Greek harfler population'ı ($\mu, \sigma$), Latin harfler sample'ı ($\bar x, s$) gösterir.
- Variance kare birimdedir (ms²); $s$ orijinal birime döner (ms). $s \ge 0$ ve $s = 0$ ancak bütün değerler eşitse.
- Kaba kontrol (McClave Ex 2.12): verinin büyük kısmı $\bar x \pm 2s$ içinde olduğu için $s \approx \text{range}/4$ civarında olmalı. 100 araçlık EPA verisinde range 14.9 iken $s = 5.85$ bulunmuştu; bu çok büyük, çünkü 5.85 aslında $s^2$ idi. Doğrusu $s = 2.42$.
Slayttaki not: "Next week the standard error $s/\sqrt n$ is built directly from s."
Kendin dene: deviation tablosu
Veriyi yaz (virgül ya da boşlukla ayır, ondalık için nokta). Oynat düğmesi tabloyu satır satır kurar: her satırda deviation'ı ve karesini görürsün. Sonda $s^2$ hem $n-1$ ile hem $n$ ile hesaplanır.
Önce tahmin et: Build time'lar 12, 15, 11, 14, 13, 40 s. 40'lık koşuyu çıkarırsan mean kaç saniye düşer? $s$ kaç kat küçülür? Median ne kadar oynar?
- Karekökü unutmak: variance'ı standard deviation diye yazmak (EPA örneğindeki 5.85 hatası).
- Sample için $n$'ye bölmek. Sample variance'ta payda $n-1$'dir (sonraki bölüm).
- "Variance her zaman SD'den büyüktür" diye düşünmek. $s < 1$ ise $s^2 < s$ (örneğin $s = 0.5$, $s^2 = 0.25$).
- $s$ uç değerlere median'dan çok daha hassastır: kareler büyük sapmaları büyütür.
Bir arkadaşın 4 değerlik bir sample için deviation'ları $-3, 1, 0, 1$ bulmuş. İlk bakışta ne söylersin?
"Build times (s) of six runs of the same job: 12, 15, 11, 14, 13, 40. (a) Find the mean and the median. (b) Find the sample standard deviation s. (c) Repeat (a) and (b) without the 40 s run. What does the comparison show?"
İpucu 1
Median için önce sırala; altı değer var, ortada iki değer kalır.
İpucu 2
(b) için deviation'ları 17.5'ten al, karelerini topla, 5'e böl. (c)'de mean değişir, deviation'ları yeni mean'den al.
Çözümü göster
(a) $\bar x = 105/6 = 17.5$ s. Sıralı: 11, 12, 13, 14, 15, 40 → median $= (13 + 14)/2 = 13.5$ s.
(b) 17.5'ten squared deviation'lar: 30.25, 6.25, 42.25, 12.25, 20.25, 506.25; toplam 617.5. $s^2 = 617.5/5 = 123.5$, $s = \sqrt{123.5} = 11.1$ s.
(c) 40 olmadan: $\bar x = 65/5 = 13$, median $= 13$. 13'ten squared deviation'lar: 1, 4, 4, 1, 0; toplam 10. $s = \sqrt{10/4} = 1.58$ s.
Yorum: Tek bir yavaş koşu mean'i 4.5 s kaydırıyor ve $s$'yi yaklaşık 7 kat büyütüyor ($11.1/1.58 = 7.0$); median sadece 0.5 s oynuyor. Çarpık veride median'ı raporla ve koşunun neden yavaş olduğunu araştır.
"A random sample of size n = 3 is drawn from a normal distribution for the purpose of estimating the mean µ. Suppose that the sample values are 1, 2, 6. The sample standard deviation is (a) 4.01 (b) 4.36 (c) 3.32 (d) 2.65 (e) none of these"
İpucu 1
$\bar x = 3$. Deviation'lar $-2, -1, 3$.
İpucu 2
Kareler toplamını $n - 1 = 2$'ye böl, karekök al.
Çözümü göster
$\sum(x-\bar x)^2 = 4 + 1 + 9 = 14$, $s^2 = 14/2 = 7$, $s = \sqrt 7 = 2.65$. Cevap (d); setin anahtarı da 17(d).
"The top speeds for a sample of five new automobiles are listed below. Calculate the standard deviation of the speeds. NOTE: on the test you might be asked to compute by hand, showing steps and using formula. 180, 175, 200, 100, 170. A) 149.82 B) 188.2551 C) 38.0789 D) 263.6522"
İpucu 1
$\bar x = 825/5 = 165$.
İpucu 2
Deviation'lar 15, 10, 35, −65, 5. Karelerini topla ve 4'e böl.
Çözümü göster
$225 + 100 + 1225 + 4225 + 25 = 5800$; $s^2 = 5800/4 = 1450$; $s = 38.08$. Cevap C.
"Which is a valid property of the standard deviation? a. It can never be zero b. It can only be calculated for normal distributions c. It measures the clustering of data around the mean d. It is smaller than the variance e. It equals the interquartile range"
İpucu 1
Bütün değerler eşit olsa $s$ kaç olur?
İpucu 2
$s = 0.5$ için variance kaç?
Çözümü göster
a yanlış (bütün değerler eşitse $s = 0$). b yanlış ($s$ her veri için hesaplanır). d yanlış ($s < 1$ ise $s^2 < s$). e yanlış (IQR başka bir ölçü). Cevap c: $s$ verinin mean etrafında ne kadar toplandığını ölçer.
Q24. "In a sample of size n, the mean is 40, and the standard deviation is 0. If another data point of value 40 is added to the sample, what are the new mean and standard deviation? A) Mean = 40, SD > 0 B) Mean = 40, SD cannot be determined C) Mean > 40, SD = 0 D) Mean = 40, SD = 0 E) Mean and SD increase"
Q25. "I. It can be negative II. It is measured in the same units as the mean III. It is less affected by outliers than the mean IV. It is the square root of the variance. Which of the above statements are true regarding the standard deviation? A) I, II, and IV B) III and IV C) II, III, and IV D) II and IV E) I and II"
İpucu 1
Q24: $s = 0$ verinin nasıl olduğunu söyler?
İpucu 2
Q25: Uç bir değerin deviation'ı karesi alınınca ne olur?
Çözümü göster
Q24: $s = 0$ ise bütün değerler 40. Bir 40 daha eklenince hepsi yine 40: mean 40, $s = 0$. Cevap D.
Q25: I yanlış ($s \ge 0$). II doğru. III yanlış: büyük bir deviation'ın karesi daha da büyür, $s$ outlier'a en az mean kadar hassastır. IV doğru. Cevap D) II and IV.
100 ölçümün range'i 14.9. Biri $s = 5.85$ buldu. En olası açıklama?
"Exercise: find the sum of all deviations for the following set of sample data: 1, 2, 3, 4, 5. Since averaging all deviations would give zero, we square each deviation …"
İpucu 1
Deviation $= x - \bar x$. Önce $\bar x$'i bul.
İpucu 2
$\bar x = 3$. Beş deviation'ı yaz ve topla.
Çözümü göster
Deviation'lar $-2, -1, 0, 1, 2$; toplam $0$. Bu tesadüf değil: her veri için $\sum (x - \bar x) = \sum x - n\bar x = 0$. Bu yüzden spread'i ölçmek için deviation'ların karesi alınır ve variance $s^2 = \sum (x - \bar x)^2/(n-1)$ kullanılır.
"Each year advertisers spend billions of dollars purchasing commercial time on network television. … the top 10 leading spenders and how much each spent (in million of dollars) were listed: Company A 72, B 63.6, C 57.3, D 54, E 31.1, F 27.3, G 25, H 23.8, I 23.1, J 19.2. Calculate the sample variance." Seçenekler: 1919.040 · 2141.564 · 3883.082 · 391.238
İpucu 1
Kısa yol: $s^2 = \dfrac{\sum x^2 - (\sum x)^2/n}{n-1}$.
İpucu 2
$\sum x = 396.4$, $\sum x^2 = 19234.44$, $n = 10$.
Çözümü göster
$(\sum x)^2/n = 396.4^2/10 = 15713.296$. $s^2 = (19234.44 - 15713.296)/9 = 3521.144/9 = 391.238$. Cevap 391.238.
Diğer seçenekler hata kalıpları gibi: büyük sayılar $\sum x^2$'yi ya da $(\sum x)^2$'yi $n - 1$ ile bölmekten gelir. Sonucu kontrol et: $s = 19.8$, değerler 19 ile 72 arasında; bu yayılım için makul.
"Calculate the range of the following data set: 8, 7, 9, 1, 6, 10, 4, 7, 4" Seçenekler: 1 · 10 · 11 · 9
İpucu 1
Range = en büyük − en küçük.
İpucu 2
En büyük 10, en küçük 1.
Çözümü göster
$R = 10 - 1 = 9$. Cevap 9. 10 en büyük değerin kendisi, 11 ise $10 + 1$: ikisi de formülü karıştırmaktan gelir.
"The total points scored by a basketball team for each game during its last season have been summarized in the table below. Which statement following the table must be true?" Score 41–60: 3, 61–80: 8, 81–100: 12, 101–120: 7. a) The range is at least 41 but at most 120. b) The range is at least 41 but at most 79. c) The range is 79. d) The range is at least 81 but at most 100.
İpucu 1
Ham veri yok. En küçük skor hangi class'ta, en büyük skor hangi class'ta?
İpucu 2
Range'in en küçük değeri: en büyüğü olabildiğince küçük (101), en küçüğü olabildiğince büyük (60). En büyük değeri: tersi.
Çözümü göster
En küçük skor 41–60 arasında, en büyük skor 101–120 arasında. En dar durum: $101 - 60 = 41$. En geniş durum: $120 - 41 = 79$. Cevap b.
c yanlış: grouped veriden range'i tam bilemezsin. d yanlış: 81 alt sınırı tutmaz, range 41 kadar küçük olabilir.
Not: a ve b matematiksel olarak doğru. $41 \le R \le 79$ ise $R \le 120$ de sağlanır, yani a da "must be true". b en dar sınırı verir; beklenen cevap b.
"Calculate the range, variance, and standard deviation for the following samples: a. 4, 2, 1, 0, 1 b. 1, 6, 2, 2, 3, 0, 3"
İpucu 1
Önce $\bar x$: a'da $8/5 = 1.6$, b'de $17/7$.
İpucu 2
$s^2 = \sum (x - \bar x)^2/(n-1)$. a'da kareler toplamı 9.2.
Çözümü göster
a. $R = 4 - 0 = 4$. $\sum (x - 1.6)^2 = 5.76 + 0.16 + 0.36 + 2.56 + 0.36 = 9.2$. $s^2 = 9.2/4 = 2.3$, $s = 1.52$.
b. $R = 6 - 0 = 6$. $\bar x = 2.43$, $\sum (x - \bar x)^2 = 21.71$. $s^2 = 21.71/6 = 3.62$, $s = 1.90$.
"Active nuclear power plants. Refer to Exercise 2.54 and the U.S. Energy Information Administration's data on the number of nuclear power plants operating in each of 20 states. a. Find the range, variance, and standard deviation of this data set. b. Eliminate the largest value from the data set and repeat part a. What effect does dropping this measurement have on the measures of variation found in part a?" (Veri Bölüm 1'deki 2.54 kutusunda.)
İpucu 1
Sıralı veri: 1 1 1 1 1 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 7 9 11. $\bar x = 3.9$.
İpucu 2
Kısa yol formülü için $\sum x = 78$, $\sum x^2 = 450$.
Çözümü göster
a. $R = 11 - 1 = 10$. $s^2 = (450 - 78^2/20)/19 = (450 - 304.2)/19 = 7.67$. $s = 2.77$.
b. 11 çıkınca: $R = 9 - 1 = 8$, $s^2 = (329 - 67^2/19)/18 = 5.15$, $s = 2.27$.
Etki: üç ölçü de küçüldü. Tek bir uç değer range'i 2, standard deviation'ı 0.5 azalttı. Range sadece iki uç değere baktığı için en kırılgan ölçü.
Neden n − 1? ddof=1 ve ddof=0
Gerçek $\mu$'yü bilmiyoruz; deviation'ları sample'ın kendi mean'i $\bar x$'ten alıyoruz. $\bar x$ sample'a "en yakın" noktadır, bu yüzden $\sum (x - \bar x)^2$ her zaman $\sum (x - \mu)^2$'den küçük ya da eşittir. $n$'ye bölersek population variance'ı ortalamada küçük tahmin ederiz. $n-1$'e bölmek bu açığı tam kapatır.
- "Dividing by n − 1 makes s² an unbiased estimator of σ²." Unbiased: bütün olası sample'lar üzerinden ortalaması tam parametreye eşit, $E(s^2) = \sigma^2$.
- NumPy:
np.var(x)venp.std(x)varsayılan olarakddof=0ile $n$'ye böler. Sample içinddof=1yaz. pandas varsayılan olarakddof=1kullanır. İkisini karıştırmak küçük farkların yaygın sebebidir. - Hesap makinesi ekranında $S_x$ ($n-1$) ve $\sigma_x$ ($n$) yan yana çıkar. Sample standard deviation $S_x$'tir.
server_a = np.array([50, 60, 70])
np.var(server_a, ddof=1) # 100.0 (n − 1 = 2'ye böler)
np.std(server_a, ddof=1) # 10.0
np.std(server_a) # 8.16 (ddof=0: n = 3'e böler)Simülasyon: $n$'ye mi, $n-1$'e mi?
Population $N(60, 10^2)$, yani $\sigma^2 = 100$. Bilgisayar bu population'dan 20 000 sample çekiyor (seed 321, her seferinde aynı sayılar) ve her sample için $\sum(x - \bar x)^2$'yi bir kez $n$'ye, bir kez $n-1$'e bölüyor. Sonra bu 20 000 tahminin ortalamasını alıyor.
Önce tahmin et: $n = 5$ iken $n$'ye bölen tahminlerin ortalaması 100'e mi çıkar, yoksa daha mı az? Ne kadar az?
- $n-1$ sample içindir. Bütün population'ın verisi elindeyse $N$'ye bölersin ($\sigma^2$).
- $n$ büyüdükçe iki sonuç birbirine yaklaşır; küçük sample'da fark büyüktür ($n = 2$'de iki kat).
- $s^2$ unbiased'dır ama $s$ tam olarak unbiased değildir (karekök ortalamayı korumaz). Bu derste bunun pratik bir önemi yok.
np.std(np.array([50, 60, 70])) ne döndürür?
"The calculator screens summarize a data set." Ekran 1: $\bar x$ = 79.95238095, $\sum x$ = 1679, $\sum x^2$ = 138471, Sx = 14.54467666, σx = 14.19415101, n = 21. Ekran 2: minX = 30, Q1 = 75, Med = 82, Q3 = 90, maxX = 97. "a. How many data items are in the set? b. What is the sample standard deviation? c. Identify the mean, median, and mode, if possible. d. Are there any outliers? Explain. e. Is the distribution of the data symmetric or skewed? If skewed, which way? Explain."
İpucu 1
(b): Ekranda iki standard deviation var. Hangisi $n-1$'e bölüyor?
İpucu 2
(d): 30'un z-score'unu hesapla, ayrıca $Q_1 - 1.5\cdot\text{IQR}$'yi bul. (e): mean ile median'ı karşılaştır.
Çözümü göster
a. $n = 21$. b. $s = S_x = 14.54$ (σx = 14.19 $n$'ye böler). Kontrol: $\dfrac{138471 - 1679^2/21}{20} = \dfrac{4230.95}{20} = 211.55$, $\sqrt{211.55} = 14.54$.
c. Mean 79.95, median 82. Mode bu özetten bulunamaz (her değerin sayısı gerekir).
d. $z = (30 - 79.95)/14.54 = -3.43$, $|z| > 3$ → 30 outlier adayı. Box plot ile: IQR $= 90 - 75 = 15$, alt inner fence $75 - 22.5 = 52.5$, alt outer fence $75 - 45 = 30$. 30 inner fence'in dışında, outer fence'in tam üstünde: suspect outlier.
e. Mean (79.95) < median (82) ve minimum Q1'den çok uzakta (45 birim), maximum Q3'e yakın (7 birim). Veri sola çarpık.
Not: Setin cevap anahtarı (b) için "Σx = 1679" yazıyor. Bu değerlerin toplamı, standard deviation değil. Doğru cevap Sx = 14.54.
Bir şirketin 12 çalışanının hepsinin maaşı elinde. Spread için hangisini kullanırsın?
Veriyi kaydırmak ve ölçeklemek
Her değere 5 eklersen bütün veri sağa kayar ama noktalar arasındaki mesafeler değişmez: spread aynı kalır. Her değeri 3 ile çarparsan mesafeler de 3 katına çıkar: $s$ üç katına, variance dokuz katına çıkar.
- Median center gibi davranır: $M_y = a + b\,M_x$. Quartile'lar için $b > 0$ ise $Q_{L,y} = a + b\,Q_{L,x}$, $Q_{U,y} = a + b\,Q_{U,x}$. $b < 0$ ise sıralama ters döner, lower ve upper quartile yer değiştirir: $Q_{L,y} = a + b\,Q_{U,x}$, $Q_{U,y} = a + b\,Q_{L,x}$.
- Range ve IQR, $s$ gibi davranır: $|b|$ ile çarpılır, $a$'dan etkilenmez.
- $b > 0$ ise z-score'lar değişmez: birim değiştirmek bir değerin "kaç SD uzakta" olduğunu değiştirmez.
- "%10 artır, sonra 5 ekle" demek $y = 5 + 1.1x$: $b = 1.1$, $a = 5$.
W2'de aynı kural random variable'lar için gelecek ($\text{Var}(aX + b) = a^2\,\text{Var}(X)$).
- Variance'ı $b$ ile çarpmak. Variance $b^2$ ile çarpılır; $b$ ile çarpılan $s$'dir.
- Sabit eklemenin variance'ı artırdığını sanmak. $+a$ sadece center'ı kaydırır.
- Sabiti standard deviation'a da eklemek: $s_y = s_x + a$ diye bir kural yok.
Sıcaklıklar °C cinsinden: mean 20, $s = 5$. °F'ye çevir ($F = 32 + 1.8\,C$). Yeni mean ve $s$?
Q3. "A sample of 10 software modules has defect counts with a sample variance of 25. If each defect count is increased by 5 (due to reclassification of minor issues as defects), what is the new sample variance? A) 30 B) 50 C) 25 D) 75 E) Cannot be determined without data."
Q4. "A data set consists of 100 observations with a mean of 50 and a variance of 25. If all observations are increased by 10% and then 5 units are added to each, what is the new mean and variance? A) Mean = 60, Variance = 27.5 B) Mean = 55, Variance = 25 C) Mean = 60, Variance = 30.25 D) Mean = 60, Variance = 25 E) Mean = 60, Variance = 32.25"
Q22. "If all observations in a data set are multiplied by a constant 3, what happens to the standard deviation? A) It is multiplied by square root of 3 B) It is divided by 3 C) It is multiplied by 3 D) It is multiplied by 9 E) It remains the same"
İpucu 1
Her soruyu $y = a + bx$ biçiminde yaz: $a$ ve $b$ kaç?
İpucu 2
Variance $b^2$ ile, SD $|b|$ ile çarpılır; $a$ ikisine de dokunmaz.
Çözümü göster
Q3: $a = 5$, $b = 1$ → variance değişmez: 25, cevap C.
Q4: $y = 5 + 1.1x$. Mean $= 5 + 1.1 \times 50 = 60$. Variance $= 1.1^2 \times 25 = 1.21 \times 25 = 30.25$. Cevap C. A (27.5) variance'ı $b$ ile çarpma hatası; D (25) çarpanı unutma hatası.
Q22: $b = 3$ → SD 3 ile çarpılır, cevap C. D (9) variance için doğru olurdu.
Bir veride $s = 4$. Her değer $-2$ ile çarpılıp 10 eklenirse yeni $s$?
Standard deviation'ı okumak: Chebyshev ve empirical rule
"$s = 4000$ kullanıcı" ne demek? Verinin ne kadarının mean'e $k$ standard deviation yakın olduğunu söyleyen iki kural var. Biri her veri için geçerli ama temkinli bir alt sınır verir; öteki sadece tümsek (mound-shaped) veride geçerli ama çok daha keskin.
| Interval | Any data (Chebyshev) | Mound-shaped (empirical rule) |
|---|---|---|
| $\bar x \pm s$ | no guarantee | about 68% |
| $\bar x \pm 2s$ | at least 75% | about 95% |
| $\bar x \pm 3s$ | at least 89% | about 99.7% |
- Chebyshev's rule, her $k > 1$ için: verinin en az $1 - 1/k^2$'si $\bar x \pm ks$ içindedir. $k = 2$: $3/4$; $k = 3$: $8/9 \approx 89\%$. Şekilden bağımsızdır.
- Empirical rule: mound-shaped ve simetrik veride yaklaşık %68, %95, %99.7. Population için $\mu \pm k\sigma$ yazılır.
- Simetri sayesinde yüzdeleri ikiye bölebilirsin: $\mu$ ile $\mu+\sigma$ arası %34, $\mu+\sigma$ ile $\mu+2\sigma$ arası %13.5, $\mu+2\sigma$'nın üstü %2.5.
Üretici grade A battery'lerin ortalama 60 ay dayandığını söylüyor; $\sigma = 10$ ay, dağılım mound-shaped. (a) 50 aydan uzun dayananlar: 50–60 arası %34 + 60'ın üstü %50 = %84. (b) 40 aydan önce bitenler: $\mu - 2\sigma$'nın altı, yaklaşık %2.5. (c) Senin battery'n 37. ayda bitti. Ya şanssız %2.5'tesin ya da üreticinin iddiası (60 ay, $\sigma = 10$) doğru değil. Bu kadar küçük bir olasılık iddiadan şüphe etmek için iyi bir sebep. Bu, ileride göreceğin hypothesis testing'in "rare-event" mantığıdır.
Kendin dene: Chebyshev mi, empirical mı?
Bir veri seti seç ve $k$'yı değiştir. Üç bar: Chebyshev'in garanti ettiği alt sınır, normal bir dağılımda beklenen oran ve seçtiğin veride $\bar x \pm ks$ içine gerçekten düşen oran (bilgisayar sayıyor). Rat maze verisi McClave Ex 2.11'den, EPA verisi Table 2.2'den; response time verisi seed 321 ile üretilmiş sağa çarpık bir sample.
Önce tahmin et: Rat maze'deki 30 sürenin kaçı $\bar x \pm s$ içindedir? Empirical rule %68 diyor, Chebyshev hiçbir şey demiyor.
- Şekil bilinmiyorsa empirical rule kullanılmaz. "Nothing is known about the shape" = Chebyshev.
- Chebyshev "en az" der, empirical "yaklaşık" der. Chebyshev'in %89'u 99.7 ile karıştırılmamalı.
- $k = 1$'de Chebyshev bir şey garanti etmez ($1 - 1/1 = 0$).
- Simetrik olmayan aralıklarda yarıları topla: $\mu - \sigma$'dan $\mu + 2\sigma$'ya $34 + 47.5 = 81.5\%$.
Bir veride $\bar x = 50$, $s = 5$; şekli hakkında bilgi yok. 35 ile 65 arasındaki oran için ne söyleyebilirsin?
"Not true by Empirical Rule? A) $P(\mu - 3\sigma < x < \mu + 3\sigma) \approx .997$ B) $P(\mu - \sigma < x < \mu + \sigma) \approx .95$ C) $P(\mu - 2\sigma < x < \mu + 2\sigma) \approx .95$ D) The empirical rule applies to mound-shaped symmetrical distributions E) None of these"
Not: Bu soru repoda bir öğrencinin defterine elle kopyaladığı hâliyle var (page-3.jpeg), orijinal kâğıt sayfası yok.
İpucu 1
Üç yüzdeyi sırayla yaz: $\pm 1\sigma$, $\pm 2\sigma$, $\pm 3\sigma$.
İpucu 2
İki seçenek aynı olasılığı (.95) farklı aralıklara veriyor. Hangisi yanlış?
Çözümü göster
$\pm 1\sigma$ yaklaşık .68 olmalı, .95 değil. Cevap B. A, C ve D doğru ifadeler.
"A data set has a mean of 20 and a standard deviation of 5. Assuming a bell-shaped distribution, approximately what percentage of data falls between 15 and 25? A) 95% B) 75% C) 99.7% D) 68% E) 50%"
İpucu 1
15 ve 25, mean'den kaç SD uzakta?
İpucu 2
"Bell-shaped" verildi: hangi kural?
Çözümü göster
$20 \pm 5 = \bar x \pm 1s$; bell-shaped → empirical rule → yaklaşık %68, cevap D. B (75%) Chebyshev'in $k = 2$ değeri, burada yeri yok.
"A sociologist recently conducted a survey of citizens over 60 years of age … The ages of the 25 uninsured senior citizens were as follows: 68 73 66 76 86 74 61 89 65 90 69 92 76 62 81 63 68 81 70 73 60 87 75 64 82. Suppose the mean and standard deviation are 74.04 and 9.75, respectively. If we assume that the distribution of ages is mound-shaped and symmetric, what percentage of the respondents will be between 64.29 and 93.54 years old? A) approximately 95% B) approximately 68% C) approximately 84% D) approximately 81.5%"
İpucu 1
$64.29 = 74.04 - ?$ ve $93.54 = 74.04 + ?$. Bunları $s$ cinsinden yaz.
İpucu 2
Aralık simetrik değil. Alt yarıyı ve üst yarıyı ayrı ayrı topla.
Çözümü göster
$74.04 - 9.75 = 64.29$ → $\bar x - 1s$. $74.04 + 2(9.75) = 93.54$ → $\bar x + 2s$. Mean'in altında %34, üstünde %47.5 → toplam %81.5, cevap D.
Merak edersen: listede bu aralığa düşen gerçek sayı 20/25 = %80. Empirical rule bir yaklaşıklık ama iyi tutuyor.
Q26. "A standardized test has a mean score of 500 points with a standard deviation of 100 points. Adam: 575, Beth: 690, Carlos: 750, Doug: 280, Ella: 440. Which of the students have scores within two standard deviations of the mean? A) Carlos, Doug B) Adam, Beth, Ella C) Adam, Beth D) Adam, Beth, Carlos, Ella"
Q27. TV viewing: mean 12, SD 2 hours/week, "symmetric, mound-shaped distribution. Give an interval where you believe approximately 95% of the television viewing times fell. A) less than 10 and more than 14 B) between 6 and 18 C) between 8 and 16 D) less than 16"
Q28. Utility bill: mean USD 150, SD USD 8, mound-shaped and symmetric. "What percentage of homes will have a monthly utility bill of more than USD 142? A) ≈16% B) ≈84% C) ≈34% D) ≈95%"
Q29. Test scores: mean 430, SD 20. "Assuming no information concerning the shape of the distribution is known, what percentage of the students scored between 390 and 470? A) ≈95% B) at least 89% C) at least 75% D) ≈68%" (sorular kısaltıldı)
İpucu 1
Her soruda önce sınırları $\bar x \pm k s$ biçiminde yaz.
İpucu 2
Q29 şekil hakkında ne söylüyor? Q28'de 142, mean'den kaç SD aşağıda?
Çözümü göster
Q26: $500 \pm 200 = [300, 700]$: Adam, Beth, Ella → B. Q27: $12 \pm 2(2) = [8, 16]$ → C. Q28: $142 = 150 - 8 = \mu - \sigma$; üstü $34 + 50 = 84\%$ → B. Q29: $430 \pm 40 = \bar x \pm 2s$, şekil bilinmiyor → Chebyshev, en az %75 → C.
Mound-shaped bir dağılımda $\mu = 60$, $\sigma = 10$. Değerlerin yaklaşık yüzde kaçı 80'in üstündedir?
"At a Tennis Championship a statistician keeps track of every serve that a player hits during the tournament. The statistician reported that the mean serve speed was 100 mph and the standard deviation of the serve speeds was 15 mph. Assume that the statistician also gave us the information that the distribution of serve speeds was mound-shaped and symmetric. What percentage of the player's serves were between 115 mph and 145 mph?" Seçenekler: at most 2.5% · at most 13.5% · approximately 16% · at most 34%
İpucu 1
115 ve 145 mean'den kaç standard deviation uzakta?
İpucu 2
Mound-shaped ve symmetric: empirical rule. $\mu + \sigma$ ile $\mu + 3\sigma$ arası, sağ yarının bir parçası.
Çözümü göster
$115 = 100 + 1(15)$, $145 = 100 + 3(15)$. Empirical rule: $\mu \pm \sigma$ içinde %68, $\mu \pm 3\sigma$ içinde %99.7. Aradaki %31.7 iki yana eşit bölünür: $31.7/2 = 15.85 \approx$ %16.
"At most" seçenekleri Chebyshev dilinde; şekil bilindiği için yaklaşık bir değer verebiliyoruz.
"At the U.S. Open Tennis Championship a statistician keeps track of every serve that a player hits during the tournament. The statistician reported that the mean serve speed was 100 miles per hour (mph) and the standard deviation of the serve speeds was 15 mph. If nothing is known about the shape of the distribution, what percentage of the player's serve speeds are less than 70 mph?" Seçenekler: approximately 2.5% · at most 12.5% · at most 25% · at most 11% · approximately 5%
İpucu 1
Şekil bilinmiyor: hangi kural?
İpucu 2
70, mean'in kaç standard deviation altında? Chebyshev sadece iki kuyruğun toplamı hakkında konuşur.
Çözümü göster
$z = (70 - 100)/15 = -2$. Chebyshev: $\mu \pm 2\sigma$ içinde en az $1 - 1/2^2 = \%75$, dışında en fazla %25. 70'in altı bu dışarının bir parçası, o halde en fazla %25. Cevap at most 25%.
Tuzak: %25'i ikiye bölüp "at most 12.5%" demek. Bölmek için dağılımın simetrik olduğunu bilmen gerekir; soru şekil hakkında hiçbir şey söylemiyor. "Approximately" seçenekleri de empirical rule'dan gelir, o da şekil ister.
z-score ve relative standing
Tarihte 57, fizikte 60 aldın. Hangisinde daha iyisin? Ham puanlar karşılaştırılamaz, çünkü iki sınavın mean'i ve spread'i farklı. z-score, bir değerin mean'den kaç standard deviation uzakta olduğunu söyler; birimsizdir, bu yüzden farklı ölçekler karşılaştırılabilir.
- İşaret yönü verir: $z < 0$ mean'in altında, $z > 0$ üstünde. Örnek: SAT mean 550, $s = 75$; Joe 475 aldı → $z = -1.0$.
- Percentile: $p$th percentile, verinin $p\%$'inin altında kaldığı değerdir. Median 50th, $Q_L$ 25th, $Q_U$ 75th percentile'dır.
- Mound-shaped veride z-score'ların yaklaşık %68'i $-1$ ile $1$, %95'i $-2$ ile $2$, %99.7'si $-3$ ile $3$ arasındadır (empirical rule'un z dilindeki hâli).
- Outlier adayı: slayt "A value with |z| > 3 is a candidate outlier" diyor. McClave'in rule of thumb'ı: $|z| > 2$ possible outlier (çok çarpık veride), $|z| > 3$ outlier.
- Slayttaki cümle: "An outlier is a question, not a verdict. Find out why before deleting it." Outlier'ın üç olası sebebi var: ölçüm ya da kayıt hatası, başka bir population'dan gelen bir birim, ya da doğru ama nadir bir olay.
Bir bankada erkek çalışanların maaş mean'i 64 000, $s = 2000$. Bir kadın çalışanın maaşı 57 000: $z = (57000 - 64000)/2000 = -3.5$. Erkek maaş dağılımı mound-shaped ise $-3$'ün altında neredeyse hiç değer olmamalı. Ya bu maaş başka bir dağılımdan geliyor ya da çok nadir bir değer. Veri ayrımcılık iddiasını destekliyor ama tek başına kanıtlamıyor.
- Outlier'ı otomatik silmek. Önce sebebini bul (bir kesinti mi, bir log boşluğu mu?).
- Outlier'lar $s$'yi şişirir; bu yüzden outlier'ın kendi z-score'u olduğundan küçük çıkabilir. Box plot'un quartile'ları bundan etkilenmez (McClave'in notu).
- Negatif z "kötü" demek değildir; sadece mean'in altında demektir. Response time'da negatif z iyidir.
Tarih: mean 79, $s = 4.5$. Fizik: mean 69, $s = 3.7$. Bir öğrenci tarihte 57, fizikte 60 aldı. Göreli olarak hangisinde daha iyi?
"Daily active users of an app: mean 52,000, standard deviation 4,000. (a) One day had 61,000 users. Find its z-score. (b) If the distribution is mound-shaped, about what percentage of days have between 44,000 and 60,000 users? (c) If nothing is known about the shape, what can you say about the same interval? (d) One day had 39,000 users. Is it a candidate outlier?"
İpucu 1
44 000 ve 60 000, mean'den kaç SD uzakta?
İpucu 2
(b) ve (c) aynı aralığı soruyor ama farklı varsayımlarla: hangi kural hangisine?
Çözümü göster
(a) $z = (61000 - 52000)/4000 = 2.25$: mean'in 2.25 SD üstünde.
(b) 44 000–60 000 = $\bar x \pm 2s$: empirical rule ile günlerin yaklaşık %95'i.
(c) Şekil bilinmiyor: Chebyshev ile en az %75.
(d) $z = (39000 - 52000)/4000 = -3.25$. $|z| > 3$: candidate outlier. Silmeden önce o güne bak (bir kesinti mi, bir logging boşluğu mu?).
Q7. "If the z-score of a data point is -2, and the mean and standard deviation of the data set are 50 and 5 respectively, what is the value of the data point? A) 35 B) 50 C) 40 D) 55 E) 45"
Q18. "Which of the following is a measure of relative standing? A) Mean B) Interquartile Range C) Variance D) Z-score E) Standard Deviation"
İpucu 1
Q7: $x = \bar x + z\,s$.
İpucu 2
Q18: "Relative standing" bir değerin diğerlerine göre nerede durduğudur. Hangi seçenek tek bir değer için hesaplanır?
Çözümü göster
Q7: $x = 50 + (-2)(5) = 40$, cevap C. Q18: D) Z-score; mean center, diğerleri spread ölçüsü.
"The speeds of the fastballs thrown by major league baseball pitchers were measured by radar gun. The mean speed was 87 miles per hour. The standard deviation of the speeds was 5 mph. Which of the following speeds would be classified as an outlier? A) 95 mph B) 103 mph C) 82 mph D) 77 mph"
İpucu 1
Her seçeneğin z-score'unu hesapla.
İpucu 2
Hangisinde $|z| > 3$?
Çözümü göster
$z$: 95 → 1.6, 103 → 3.2, 82 → −1.0, 77 → −2.0. Sadece 103'te $|z| > 3$, cevap B. 77 tuzak: $|z| = 2$ en fazla "possible outlier" olur.
Q30. "A radio station claims that the amount of advertising each hour has a mean of 17 minutes and a standard deviation of 1.7 minutes. You listen to the radio station for 1 hour and observe that the amount of advertising time is 7 minutes. Calculate the z-score for this amount of advertising time. A) z = -17 B) z = 0.31 C) z = 5.88 D) z = -5.88"
Q31. "Test scores for a history class had a mean of 79 with a standard deviation of 4.5. Test scores for a physics class had a mean of 69 with a standard deviation of 3.7. One student earned a 57 on the history test and a 60 on the physics test. Calculate the z-score for each test. On which test did the student perform better?"
İpucu 1
Q30: Önce farkın işaretine bak: 7, 17'nin altında.
İpucu 2
Q31: Yukarıdaki ilk quiz bu sorunun aynısıydı.
Çözümü göster
Q30: $z = (7 - 17)/1.7 = -5.88$, cevap D. Bu kadar uç bir değer istasyonun iddiasından şüphe ettirir. Q31: Tarih $z = (57 - 79)/4.5 = -4.89$; fizik $z = (60 - 69)/3.7 = -2.43$. Fizikte daha iyi.
Q33. Fastball speeds: "The mean speed was 83 miles per hour. The standard deviation of the speeds was 5 mph. Which of the following speeds would be classified as an outlier? A) 73 mph B) 91 mph C) 78 mph D) 99 mph"
Q34. "Which of the following statements could be an explanation for the presence of an outlier in the data? A) The measurement may be correct and from the same population as the rest but represents a rare event. … B) The measurement belongs to a population different from that from which the rest of the sample was drawn. C) The measurement is incorrect. … D) All of the above are explanations for outliers."
İpucu 1
Q33: z-score'lar: hangisi 3'ü geçiyor?
İpucu 2
Q34: McClave'in üç sebebini hatırla.
Çözümü göster
Q33: $z$: 73 → −2, 91 → 1.6, 78 → −1, 99 → 3.2. Cevap D. Q34: D: üç sebep de mümkün; "rare event" açıklaması ancak diğer ikisi elendikten sonra kabul edilir.
Bir log'da bir isteğin z-score'u 4.1 çıktı. En doğru ilk adım?
"A radio station claims that the amount of advertising each hour has a mean of 13 minutes and a standard deviation of 1.8 minutes. You listen to the radio station for 1 hour and observe that the amount of advertising time is 8 minutes. Calculate the z-score for this amount of advertising time." Seçenekler: −2.78 · 0.48 · 2.78 · −0.48
İpucu 1
$z = (x - \mu)/\sigma$.
İpucu 2
8, mean'in altında: işaret negatif olmalı.
Çözümü göster
$z = (8 - 13)/1.8 = -2.78$. Cevap −2.78. Reklam süresi istasyonun iddia ettiği mean'in 2.78 standard deviation altında. $|z| < 3$ olduğu için slaytın kuralına göre outlier sayılmaz, ama alışılmadık derecede düşük.
"At the U.S. Open Tennis Championship a statistician keeps track of every serve that a player hits during the tournament. The statistician reported that the mean serve speed of a particular player was 96 miles per hour (mph) and the standard deviation of the serve speeds was 9 mph. Using the z-score approach for detecting outliers, which of the following serve speeds would represent outliers in the distribution of the player's serve speeds? 65, 105, and 114" Seçenekler: 65 is the only outlier. · They are all outliers · None of them. · 65 and 105 are outliers
İpucu 1
Her hız için $z = (x - 96)/9$.
İpucu 2
Outlier kuralı: $|z| > 3$.
Çözümü göster
65: $z = -31/9 = -3.44$, outlier. 105: $z = 1$. 114: $z = 2$. Cevap 65 is the only outlier.
Quartile, IQR ve box plot
Box plot verinin beş sayısını çizer: minimum, $Q_L$, median, $Q_U$, maximum (five-number summary). Slayttaki cümle: "The box holds the middle half of the data. Points past the fences are flagged for a closer look, not removed."
Veriyi sırala. $Q_L$ (lower quartile, 25th percentile) $\tfrac{n+1}{4}$'üncü sırada, median $\tfrac{n+1}{2}$'nci sırada, $Q_U$ (upper quartile, 75th percentile) $\tfrac{3(n+1)}{4}$'üncü sıradadır. Sıra tam sayı değilse iki komşu değerin arasında doğrusal interpolation yap: 19.5'inci sıra = 19. ve 20. değerin tam ortası; 5.25'inci sıra = 5. değer + 0.25 × (6. değer − 5. değer).
McClave box plot'larını MINITAB ile çiziyor ve MINITAB bu kuralı kullanıyor: EPA verisinde ($n = 100$) $Q_L$ 25.25'inci sırada, $Q_L = 35.625$, $Q_U = 38.375$ çıkıyor, kitaptaki değerlerle aynı. Küçük $n$'de başka yazılımlar (hesap makinesi, NumPy) biraz farklı quartile verebilir; McClave'e göre $n$ büyüdükçe fark kaybolur. Sınavda seçeneklerden biri bu kurala uyar.
- $\text{IQR} = Q_U - Q_L$: ortadaki yarının genişliği. Box $Q_L$'den $Q_U$'ya (hinge'ler), içindeki çizgi median.
- Inner fences: $Q_L - 1.5\cdot\text{IQR}$ ve $Q_U + 1.5\cdot\text{IQR}$. Outer fences: $Q_L - 3\cdot\text{IQR}$ ve $Q_U + 3\cdot\text{IQR}$. Fence'ler grafikte çizilmez.
- Whisker'lar hinge'den inner fence'in içinde kalan en uç gözleme kadar uzanır, fence'e kadar değil.
- Inner ile outer fence arasındaki noktalar suspect outlier, outer fence'in dışındakiler highly suspect outlier. Mound-shaped veride gözlemlerin %1'inden azı inner fence'in dışına düşer.
- Okuma: whisker'lardan biri belirgin şekilde uzunsa veri o yöne çarpıktır. Median box'ın içinde bir uca yakınsa da çarpıklığı gösterir. Box plot quartile'lara dayandığı için outlier'lardan etkilenmez.
Kendin dene: box plot kur
Ham veri ya da five-number summary yaz. Oynat düğmesi quartile'ların sırasını, IQR'ı, fence'leri ve whisker'ları adım adım bulur; çizim her adımda bir parça büyür.
Önce tahmin et: Build time'larda (12, 15, 11, 14, 13, 40) 40 saniye inner fence'in dışında mı kalır? Outer fence'in de dışında mı?
- Whisker'ı fence'e kadar çizmek. Whisker fence'in içindeki son gözlemde biter.
- IQR'ı range ile karıştırmak: IQR $= Q_U - Q_L$, range = max − min.
- Five-number summary'den mean'i bulmaya çalışmak. Mean bu beş sayıdan çıkmaz.
- $Q_U$ yerine $Q_L$'yi ya da max'ı işaretlemek: sınav seçeneklerinde bunlar hep bulunur (2025-26 Q12'de 65.5 ve 92).
Bir box plot'ta $Q_L = 20$, $Q_U = 32$. Hangi değer suspect outlier'dır (inner ile outer fence arası)?
"API latency (ms) over one day: minimum 30, Q1 = 42, median 47, Q3 = 58, maximum 101. (a) Find the interquartile range and the two fences. (b) Which of the extreme values are flagged? (c) What does the five-number summary suggest about the shape? Can you tell whether the mean is above or below 47 ms?"
İpucu 1
IQR $= Q_3 - Q_1$; fence'ler $1.5 \times$ IQR uzakta.
İpucu 2
(c): Median Q1'e mi Q3'e mi yakın? Maximum Q3'ten ne kadar uzakta? Mean'i belirlemek için ne gerekirdi?
Çözümü göster
(a) $\text{IQR} = 58 - 42 = 16$. Fence'ler: $42 - 1.5 \times 16 = 18$ ve $58 + 1.5 \times 16 = 82$.
(b) $101 > 82$: flagged. $30 > 18$: flagged değil. İşaretlenen nokta incelenir, silinmez.
(c) Median Q1'in 5 ms üstünde ama Q3'ün 11 ms altında, maximum da Q3'ün çok üstünde: sağa çarpıklık. Five-number summary mean'i belirlemez, bu yüzden mean'in 47'nin üstünde mi altında mı olduğunu söyleyemeyiz. Box plot'ta 101 ayrı bir nokta olarak çizilir; üst whisker fence'in içindeki en büyük değerde biter ve o değer verilmemiş. Response time'ın tipik görüntüsü: yavaş isteklerden oluşan bir sağ kuyruk.
"A sociologist recently conducted a survey of citizens over 60 years of age who have net worths too high to qualify for Medicaid but have no private health insurance. The ages of the 25 uninsured senior citizens were as follows: 68 73 66 76 86 74 61 89 65 90 69 92 76 62 81 63 68 81 70 73 60 87 75 64 82. Find the upper quartile of the data. A) 65.5 B) 73 C) 81.5 D) 82 E) 92"
İpucu 1
Sırala. $n = 25$ için $Q_U$'nun sırası $3(26)/4$ kaç?
İpucu 2
Sıra 19.5 çıkıyor: 19. ve 20. değerin ortası.
Çözümü göster
Sıralı: 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 68, 69, 70, 73, 73, 74, 75, 76, 76, 81, 81, 82, 86, 87, 89, 90, 92.
$Q_U$ sırası $= 3(25+1)/4 = 19.5$ → 19. değer 81, 20. değer 82 → $Q_U = 81.5$. Cevap C.
Diğer seçenekler: 65.5 = $Q_L$ (sıra 6.5), 73 = median (sıra 13), 92 = maximum. 82 ise sadece tek bir komşuyu almak olur.
"Below is a stem-and-leaf display of the ages in months of 51 children ranging in ages from 1 month to 38 months."
0 | 1122334445556677888999
1 | 000122445566899
2 | 0123445567
3 | 1348"15. What is the median age? (a) 12 months (b) 10 months (c) 9 months (d) 11 months (e) none of these. 16. Find the 75th percentile of the data. (a) 21 months (b) 20.75 months (c) 19 months (d) 20.25 months (e) none of these"
İpucu 1
Stem 0'da kaç leaf var? Median 26. değer.
İpucu 2
75th percentile'ın sırası $0.75 \times 52 = 39$.
Çözümü göster
Stem 0'da 22 leaf (1–22. değerler), stem 1'de 15 leaf (23–37). Stem 1: 10, 10, 10, 11, … → 23., 24., 25. değer 10, 26. değer 11. Median = 11, cevap (d).
75th percentile: sıra $0.75(51 + 1) = 39$ (tam sayı). Stem 2: 20 (38.), 21 (39.) → 21 ay, cevap (a). Setin anahtarı 15(d), 16(a); McClave kuralıyla aynı.
"A boxplot is useful for displaying: A) The distribution of a qualitative variable B) Changes over time C) The relationship between two categorical variables D) The five-number summary of a data set E) The frequency of each data point"
İpucu 1
Box plot hangi beş sayıyla çizilir?
İpucu 2
Box plot tek bir quantitative variable için çizilir.
Çözümü göster
Cevap D. A yanlış (quantitative ister), B time series plot, C contingency table, E dot plot ya da frequency table.
Q32. Weights of 1000 tractor trailers: MIN 4005, 25%: 5605, MAX 10,605, 75%: 8605, AVE 7005, Std. Dev. 1400. "Find the percentage of tractor trailers with weights between 5605 and 8605 pounds. A) 50% B) 100% C) 25% D) 75%"
Q35. "The lower quartile of a particular player's serve speeds was reported to be 88 mph. Which of the following interpretations of this information is correct? A) 25% of the player's serves were hit at 88 mph. B) 88 serves traveled faster than the lower quartile. C) 75% of the player's serves were hit at speeds less than 88 mph. D) 75% of the player's serves were hit at speeds greater than 88 mph."
İpucu 1
Q32: 5605 ve 8605 hangi percentile'lar? Mean ve SD'yi kullanman gerekiyor mu?
İpucu 2
Q35: Lower quartile'ın altında yüzde kaç, üstünde yüzde kaç kalır?
Çözümü göster
Q32: 25th ile 75th percentile arası = ortadaki yarı = %50, cevap A. Mean ve SD dikkat dağıtmak için verilmiş. Q35: Servislerin %25'i 88'in altında, %75'i üstünde: D.
Aynı hesap makinesi ekranları (Q23): minX = 30, Q1 = 75, Med = 82, Q3 = 90, maxX = 97. "a. Identify the lower and upper quartiles of the data set. b. Find the interquartile range. c. Is there reason to suspect that the data may contain an outlier? Explain."
İpucu 1
IQR'ı bul, sonra iki inner fence'i hesapla.
İpucu 2
Min ve max fence'lerin içinde mi?
Çözümü göster
a. $Q_L = 75$, $Q_U = 90$. b. $\text{IQR} = 15$. c. Inner fence'ler $75 - 22.5 = 52.5$ ve $90 + 22.5 = 112.5$. Min 30 < 52.5 → outlier şüphesi var. Outer fence $75 - 45 = 30$; 30 tam bu sınırda, yani suspect outlier (outer fence'in dışında değil). Setin anahtarı: "30 is three times the interquartile range less than the lower quartile, so it is a suspected outlier."
"The box plot shown below displays the amount of soda that was poured by a filling machine into 12-ounce soda cans at a local bottling company. Based on the box plot, what shape do you believe the distribution of the data to have? A) skewed to the center B) approximately symmetric C) skewed to the left D) skewed to the right"
Şekil yeniden çizildi; değerler orijinal grafikten gözle okundu (box yaklaşık 12.05–12.10, alt whisker 11.6'ya iniyor, üst whisker çok kısa).
İpucu 1
İki whisker'ın uzunluğunu karşılaştır.
İpucu 2
Veri uzun whisker'ın yönüne çarpıktır.
Çözümü göster
Alt whisker çok uzun (12.05'ten 11.6'ya), üst whisker neredeyse yok: uzun kuyruk solda. Cevap C) skewed to the left. Makinenin bazen az doldurduğu, nadiren fazla doldurduğu bir süreç.
$n = 10$ sıralı değer: 3, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 30. McClave kuralıyla $Q_L$?
Normal distribution: standardise et, area'yı oku
Normal distribution çan şeklinde, simetrik bir eğri. Sadece iki sayıyla tamamen belli olur: $\mu$ (merkez) ve $\sigma$ (genişlik). Olasılık, eğrinin altındaki alandır. Her normal eğri, z-score ile tek bir standart eğriye çevrilebilir; bu yüzden tek bir tablo yeter.
Slayttaki "Why it keeps appearing" kısmı: "Not because data is usually normal. Sample means are approximately normal, whatever the population. That is next week's Central Limit Theorem."
- Density: $f(x) = \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac12\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$. Formülü ezberlemen gerekmez; alanlar tablodan ya da yazılımdan gelir.
- Adımlar: (1) eğriyi çiz, $\mu$'yü işaretle, istenen alanı tara; (2) sınırları $z = (x-\mu)/\sigma$ ile çevir; (3) tablodan oku, gerekirse simetriyi kullan.
- Tablo: bu dersin soru bankası ve tabloları area to the left verir: $\Phi(z) = P(Z < z)$. O zaman $P(Z > z) = 1 - \Phi(z)$, $P(a < Z < b) = \Phi(b) - \Phi(a)$, $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$. McClave'in Table II'si ise 0 ile $z$ arasındaki alanı verir; onu kullanırsan 0.5 ekleyip çıkarman gerekir.
- Continuous variable'da tek bir noktanın olasılığı 0'dır: $P(x < a) = P(x \le a)$.
- Ters yön (percentile): $P(x \le x_0) = p$ ise $x_0 = \mu + z_0\sigma$, $\Phi(z_0) = p$. Sık kullanılanlar: $z_{0.90} = 1.28$ (1.282), $z_{0.95} = 1.645$, $z_{0.975} = 1.96$, $z_{0.99} = 2.326$, $z_{0.995} = 2.576$.
- Empirical rule normal'den gelir: tam değerler $\pm 1$: .6827, $\pm 1.96$: .95, $\pm 2$: .9545, $\pm 3$: .9973.
- Telefon şarjı $\mu = 10$, $\sigma = 1.5$ saat: $P(8 < x < 12) = P(-1.33 < z < 1.33) = .9082 - .0918 = .8164$ (yazılımla .8176; fark tablonun yuvarlamasından).
- Şehir içi mpg $\mu = 27$, $\sigma = 3$: $P(x < 20) = P(z < -2.33) = .0099 \approx .01$. Aldığın araba 20'nin altında yapıyorsa ya çok şanssızsın ya da model ($\mu = 27$, $\sigma = 3$, normal) yanlış. Kanıt ikincisini gösteriyor.
- Giriş sınavı $\mu = 550$, $\sigma = 100$; 90th percentile: $x_0 = 550 + 1.28(100) = 678$.
Kendin dene: normal area aracı
$\mu$, $\sigma$ ve sınırları yaz (boş sınır = sonsuz). Araç alanı tarar, standardise adımlarını yazar ve z table'da (area to the left) hangi satır ile sütuna bakacağını işaretler. "Percentile" modunda soldaki alanı verirsin, $x_0$'ı bulur.
Önce tahmin et: Telefon örneğinde ($\mu = 10$, $\sigma = 1.5$) şarjın 8 ile 12 saat arasında bitme olasılığı %68'den büyük mü küçük mü? (İpucu: 8 ve 12, mean'den kaç $\sigma$ uzakta?)
- "Greater than" sorularında tablodaki değeri doğrudan yazmak. Tablo soldaki alanı verir; sağdaki alan $1 - \Phi(z)$.
- $\sigma^2$'ye bölmek. Standardise ederken $\sigma$'ya bölersin.
- "%95 nerede?" sorusunda 2 yerine 1.96 kullanmak gerekir; seçenekler buna göre yazılır (2025-26 Q10).
- İki kuyruk: $P(|Z| > z) = 2\,(1 - \Phi(z))$; bir kuyruğu unutma.
- Burada tek bir ölçümün olasılığı soruluyor, $\sigma$ kullanılır. Sample mean $\bar x$ sorulduğunda $\sigma/\sqrt n$ gelir (sonraki ders).
$x \sim N(80, 10^2)$. $P(x > 92)$?
"A population of test scores is normally distributed with mean μ = 80 and standard deviation σ = 10. What is the probability that a single randomly chosen score from this population is greater than 92? a. 0.0515 b. 0.1151 c. 0.5000 d. 0.8849 e. 0.9465"
İpucu 1
Standardise et: $z = (92 - 80)/10$.
İpucu 2
Tablo soldaki alanı veriyor; sana sağdaki lazım.
Çözümü göster
$z = 1.2$; $\Phi(1.2) = .8849$; $P(x > 92) = 1 - .8849 = .1151$. Cevap b. d tuzak (soldaki alan). Not: soru "single score" diyor, yani $\sigma$ kullanılır, $\sigma/\sqrt n$ değil.
"A physical fitness association is including the mile run in its secondary-school fitness test. The time for this event for boys in secondary school is known to possess a normal distribution with a mean of 460 seconds and a standard deviation of 50 seconds. Between what times do we expect approximately 95% of the boys to run the mile? A) between 365 and 555 seconds B) between 377.75 and 542.28 seconds C) between 410 and 510 seconds D) between 362 and 558 seconds E) between 0 and 542.28 seconds"
İpucu 1
Ortadaki %95 için hangi z? İki kuyrukta %2.5'er kalır.
İpucu 2
$\mu \pm z\,\sigma$; 2 yerine 1.96 ile dene ve seçeneklere bak.
Çözümü göster
$\Phi(1.96) = .975$. $460 \pm 1.96(50) = 460 \pm 98 = [362, 558]$. Cevap D. Empirical rule ile ($\pm 2\sigma$) 360–560 bulunur, seçeneklerde yok; kâğıt 1.96 istiyor. C (410–510) $\pm 1\sigma$, yani %68.
"Suppose that Z is a random variable with a standard normal distribution. 7. $P(-1.32 < Z < -0.94)$ = (a) 0.0802 (b) 0.2185 (c) 0.1632 (d) 0.1359 (e) none of these. 8. For what value z is $P(-z < Z < z) = 0.2510$? (a) 0.25 (b) 0.42 (c) 0.68 (d) 0.32 (e) none of these"
İpucu 1
Q7: İki negatif z için soldaki alanları bul, büyükten küçüğü çıkar.
İpucu 2
Q8: Ortada .2510 varsa $z$'nin solunda kaç kalır? $.5 + .2510/2$.
Çözümü göster
Q7: $\Phi(-0.94) - \Phi(-1.32) = .1736 - .0934 = .0802$ → (a).
Q8: $\Phi(z) = .5 + .1255 = .6255$ → tablodan $z = 0.32$ → (d). Anahtar: 7(a), 8(d).
"The total value of world banking activity on the Internet in the year 2002 can be modeled as a normal random variable with mean USD 200 billion and a standard deviation of USD 40 billion. 9. What is the probability that total worldwide Internet banking volume in year 2002 will exceed USD 130 billion? (a) .4599 (b) .0401 (c) .5401 (d) .9599 (e) none of these. 10. … will be less than USD 180 billion? (a) .3085 (b) .8085 (c) .6344 (d) .1915 (e) none of these. 11. What is the 95th percentile of this normal distribution in billions? (a) 247 (b) 281 (c) 266 (d) 259 (e) 276" (kısaltıldı)
İpucu 1
Q9: $z = (130 - 200)/40$; "exceed" sağdaki alan.
İpucu 2
Q11: Ters yön: $x_0 = \mu + z_{0.95}\,\sigma$.
Çözümü göster
Q9: $z = -1.75$; $1 - \Phi(-1.75) = 1 - .0401 = .9599$ → (d). (b) tuzak: soldaki alan.
Q10: $z = -0.5$; $\Phi(-0.5) = .3085$ → (a).
Q11: $200 + 1.645(40) = 265.8 \approx 266$ → (c). (e) 276, $z = 1.96$ ile bulunur; o iki kuyruklu %95 içindir.
"For a normal random variable with mean 19,500 and standard deviation 400, find a point of the distribution such that the probability that the random variable will exceed this value is 0.02. (a) 16,100 (b) 20,300 (c) 18,700 (d) 21,400 (e) 22,500"
İpucu 1
Sağda .02 kalıyorsa solda kaç kalır?
İpucu 2
Tablonun gövdesinde .9800'e en yakın değeri ara.
Çözümü göster
$\Phi(z_0) = .98$; tabloda $\Phi(2.05) = .9798$, $\Phi(2.06) = .9803$ → $z_0 \approx 2.05$. $x_0 = 19500 + 2.05(400) = 20320 \approx 20{,}300$ → (b).
Q3. "Use the standard normal distribution to find $P(z < -2.33 \text{ or } z > 2.33)$. A) .7888 B) .0606 C) .0198 D) .9809"
Q4. "The volume of soda a dispensing machine pours into a 12-ounce can of soda follows a normal distribution with a mean of 12.45 ounces and a standard deviation of 0.30 ounce. … What proportion of the soda cans contain less than the advertised 12 ounces of soda? A) .4332 B) .9332 C) .0668 D) .5668"
Q7. "The time for this event for boys in secondary school is known to possess a normal distribution with a mean of 440 seconds and a standard deviation of 60 seconds. Find the probability that a randomly selected boy in secondary school can run the mile in less than 302 seconds. A) .5107 B) .9893 C) .0107 D) .4893"
Not: exams/prep/problems-for-final.pdf'in başlığı "EEM209 Probability Theory & Statistical Analysis — Exercises for the Final Exam". Repo README'si onu hocadan geliyormuş gibi anlatıyor ama bu, başka bir dersin alıştırma seti.
İpucu 1
Q3: İki kuyruk; simetri ile bir kuyruğu bul, ikiyle çarp.
İpucu 2
Q4 ve Q7: $z$'yi hesapla; ikisi de "less than", yani doğrudan soldaki alan.
Çözümü göster
Q3: $2\,\Phi(-2.33) = 2(.0099) = .0198$ → C.
Q4: $z = (12 - 12.45)/0.30 = -1.5$; $\Phi(-1.5) = .0668$ → C. A (.4332) 0 ile 1.5 arası alan.
Q7: $z = (302 - 440)/60 = -2.3$; $\Phi(-2.3) = .0107$ → C.
$x \sim N(550, 100^2)$. En üst %10'a girmek için en az kaç puan gerekir?
Veri normal mi? Dört descriptive kontrol
İleride göreceğin bazı yöntemler (küçük sample'da t test gibi) population'ın yaklaşık normal olmasını ister. Bunu kesin olarak bilemezsin ama sample'a bakarak "makul mü?" diye kontrol edebilirsin.
- Histogram ya da stem-and-leaf çiz: mound-shaped ve mean etrafında simetrik olmalı.
- $\bar x \pm s$, $\bar x \pm 2s$, $\bar x \pm 3s$ içine düşen yüzdeleri say: yaklaşık %68, %95, %100 olmalı.
- $\text{IQR}/s$'yi hesapla: yaklaşık 1.3 olmalı. Sebebi: standart normal'de $Q_L = -0.67$, $Q_U = 0.67$, yani $\text{IQR}/\sigma = 1.34$.
- Normal probability plot çiz: sıralı veri, normal'de beklenen z-score'lara karşı yaklaşık düz bir çizgi üstünde olmalı.
EPA örneği (Ex 5.12): histogram mound-shaped; aralıklardaki yüzdeler 68, 96, 99; $\text{IQR}/s = 2.75/2.42 = 1.14$, 1.3'e yakın; probability plot düz. Sonuç: veri yaklaşık normal demek makul. Bunlar descriptive kontroller; normallik kanıtlamazlar.
Chebyshev aracında EPA'yı seçersen ilk iki kontrolü ve IQR/s'yi orada da görürsün.
- Düz (uniform) bir histogram normal değildir; normal çan şeklindedir.
- IQR/s'nin hedefi 1 değil, yaklaşık 1.3.
- Kontrollerin geçmesi "veri normaldir" demek değildir; "normal varsaymak makul" demektir.
Bir sample'da $s = 10$, $\text{IQR} = 4$. Bu normallik hakkında ne söyler?
"Which of the following is not a method used for determining whether data are from an approximately normal distribution? A) Compute the intervals x̄ ± s, x̄ ± 2s, and x̄ ± 3s. The percentages of measurements falling in each should be approximately 68%, 95%, and 100% respectively. B) Construct a histogram or stem-and-leaf display. The shape of the graph or display should be uniform (evenly distributed). C) Find the interquartile range, IQR, and standard deviation, s, for the sample. Then IQR/s ≈ 1.3. D) Construct a normal probability plot. The points should fall approximately on a straight line."
İpucu 1
McClave'in dört kontrolünü yaz ve seçeneklerle eşleştir.
İpucu 2
Hangi seçenekte şekil yanlış tarif edilmiş?
Çözümü göster
A, C, D McClave'in kontrolleri. B'de şekil "uniform" deniyor; doğrusu mound-shaped ve simetrik. Cevap B.
Son kontrol
Kâğıt kalemle çöz, sonra cevaba bak.
Bir veride mean 120, $s = 15$. Her değerden 100 çıkarılıp sonuç 2 ile çarpılıyor. Yeni variance?
Sunucu log'unda response time'lar: mean 200 ms, $s = 50$; dağılımın şekli bilinmiyor. 100 ile 300 ms arası için en doğru ifade?
$Z \sim N(0, 1)$. $P(-1 < Z < 2)$?
Five-number summary: 2, 10, 12, 15, 40. Hangisi doğru?
Bir sample'dan $s$ hesaplarken neden $n-1$'e bölünür?